Физическая сущность уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли считается одним из основных законов гидромеханики, он устанавливает связь между давлением в потоке жидкости и скоростью его движения в гидравлических системах: с увеличением скорости движения потока давление в нем должно падать. С его помощью объясняются многие гидродинамические эффекты. Рассмотрим некоторые хорошо известные из них. Подъем и распыление жидкости в пульверизаторе (рис. 1) происходит благодаря пониженному давлению в струе воздуха, проходящему с большой скоростью над трубочкой, опущенной в сосуд с жидкостью. Подниматься жидкость вверх заставляет атмосферное давление, которое больше давления в струе воздуха.
Шарик для пинг-понга (рис. 2) устойчиво парит в вертикальной струе воздуха, так как давление в струе меньше атмосферного, которое и прижимает шарик к струе, не давая ему упасть.
Суда, идущие параллельным курсом (рис. 3), притягиваются друг к другу, что является причиной многих морских катастроф. Это объясняется понижением давления между судами из-за большей скорости воды в суженном пространстве между ними.
Подъемная сила крыла (рис. 4) обусловлена наличием разности давлений р1 и р2 из-за разницы скоростей V1 и V2, когда V1 меньше V2, так как частицы воздуха, находящиеся над крылом, до момента встречи на конце крыла проходят больший путь, чем частицы, расположенные снизу.
Если подуть между двумя листами бумаги, касающимися друг друга (рис. 5), то они не разойдутся, как казалось бы, должно произойти, а, наоборот, прижмутся друг к другу.
Таким образом, мы видим, что уравнение Бернулли имеет широкий диапазон применения для объяснения многих гидродинамических явлений. Даниил Бернулли опубликовал его в 1738 году после многолетних размышлений и исследований, поисков и сомнений. Он был абсолютно уверен в правильности открытого им закона, связывающего статическое давление в жидкости со скоростью ее движения.
Рассмотрим вывод этого уравнения для элементарной струйки жидкости (линии тока), как он дается во всех учебниках, при стационарном ламинарном течении идеальной несжимаемой жидкости. Чтобы исключить влияние силы тяжести на движение жидкости, возьмем горизонтальный участок трубы (рис. 6), элементарную струйку также расположим горизонтально.
Рассмотрим движение элемента жидкости, определяемого длиной l1. На выделенную часть жидкости будет действовать движущая сила, создаваемая статическим давлением p1:
, (1)
где S1 - площадь поперечного сечения с левой стороны выделенного участка жидкости, и сила сопротивления, определяемая статическим давлением p2:
, (2)
где S2 - площадь поперечного сечения с правой стороны участка.
Давление, действующее на боковую поверхность элемента жидкости, по утверждению авторов, перпендикулярно к перемещениям и работы совершать не будет.
Под действием этих двух сил выделенная часть жидкости будет двигаться слева направо. Предположим, что она переместится на некоторое небольшое расстояние и займет положение, определяемое длиной l2, при этом левый конец элемента жидкости переместится на величину Dl1, а правый на величину Dl2.
В соответствии с законами механики движение элемента жидкости будет характеризоваться тем, что изменение его кинетической энергии будет равно работе всех действующих на него сил:
, (3)
где m - масса выделенного элемента жидкости, и - конечная и начальная скорости его центра масс.
Правую часть выражения (3) можно преобразовать, если обратить внимание на то, что в обоих положениях выделенного элемента имеется общая часть (не заштрихованная на рис. 6), которая будет обладать одной и той же кинетической энергией. Эту часть энергии можно ввести в уравнение (3), прибавив и отняв ее в правой части:
(4)
где mобщ - масса общей части, - скорость центра масс общей части.
Выражения в скобках представляют собой кинетические энергии заштрихованных участков длиной Dl1 и Dl2 , движущихся в силу их малой протяженности с постоянными для всех точек скоростями V1 и V2. Поэтому уравнение (4) примет вид:
, (5)
где Dm1 и Dm2 - массы заштрихованных участков жидкости.
В силу непрерывности потока жидкости объемы и массы заштрихованных частей будут равны:
, (6)
где r - плотность жидкости.
Разделив выражение (5) на S1Dl1= S2Dl2, преобразуем его к виду:
(7)
После перестановки членов уравнение примет вид:
(8)
Это и есть уравнение Бернулли. Поскольку элемент жидкости может быть взят в любом месте потока и любой длины, уравнение Бернулли можно записать следующим образом:
, (9)
где р и V - статическое давление и скорость движения в любом месте элементарной струйки жидкости. Выражение rV2/2называется динамическим давлением.
Из уравнения (9) следует, что в тех точках, где скорость больше, статическое давление будет меньше и наоборот. То, что это действительно так, подтверждается опытом. Возьмем для примера трубку Вентури (рис. 7). Уровни жидкости в манометрических трубках ясно показывают, что статическое давление меньше в суженой части, где скорость потока больше. Кроме того, подтверждением сказанному может быть и то, что полученный результат, как утверждается в работе [2, с. 502], является непосредственным следствием второго закона Ньютона. Действительно, когда жидкость движется из широкой части в суженую, скорость ее возрастает и ускорение направлено в сторону движения. А так как ускорение определяется разностью давлений, действующих на элемент жидкости слева и справа, то и давление в широкой части трубки должно быть больше, чем в узкой. Правда, здесь можно заметить, что ускорение определяется не давлением, а силой, сила же зависит не только от давления, но и площади поперечного сечения. Поэтому, большая сила может быть и при меньшем давлении, так что приведенный аргумент не является убедительным.
Итак, все, вроде, логично в приведенных рассуждениях. Однако, существует возможность все гидродинамические эффекты объяснить иначе. Дело в том, что мы всегда имеем дело не с идеальной, а с вязкой жидкостью, которая ведет себя совершенно по-другому.
Рассмотрим, что будет происходить с вязкой жидкостью, текущей по трубе (рис. 8). Благодаря наличию трения между потоком жидкости и стенками трубы, а также между слоями самой жидкости, скорость частиц жидкости будет различна в разных точках в одном и том же сечении потока: в центре трубы она будет максимальна, около стенок - равна нулю. В результате поле скоростей в сечении потока жидкости будет определятся выражением [1,с. 82]:
, (10)
где V - скорость в центре потока, r - текущий радиус, R - радиус трубы, и будет иметь вид, представленный на рисунке 8. С полем скоростей неразрывно связано скалярное поле кинетической энергии, которое характеризуется выражением:
, (11)
где Edm - кинетическая энергия выделенной элементарной массы dm, которая определяется выражением:
(12)
Здесь: dl - элементарная длина в осевом направлении, r - плотность жидкости.
Поскольку поле кинетической энергии неоднородно, на элементарную частицу жидкости будет действовать сила, направленная к центру потока:
(13)
Эта сила, отнесенная к цилиндрической части поверхности частицы dS, нормально расположенной к силе:
, (14)
определит давление, возникающее в данном месте потока под действием данной силы:
(15)
Это давление зависит только от элементарной силы dF, поэтому его можно назвать дифференциальным давлением. Общее же давление в данной точке жидкости будет зависеть от элементарных сил инерции, действующих и на другие частицы жидкости. Поскольку все силы dF имеют радиальное направление и направлены к центру потока, суммарное давление в точке будет определятся силами, лежащими на одном радиусе и расположенными с внешней по отношению к рассматриваемой точке стороны. Поэтому общее давление может быть найдено интегрированием выражения (15) по r в пределах от r до R:
(16)
Здесь знак минус указывает направление сжатия (к центру сечения).
Получился удивительный результат, так как это выражение аналогично выражению для кинетической энергии (11), отнесенного к объему элементарной массы dm:
, (17)
т.е. суммарное давление является плотностью кинетической энергии в некотором элементарном объеме в окрестностях рассматриваемой точки.
Из выражения (16) следует, что на оси потока (при r=0) давление будет максимальным, а на его границе (при r=R) оно будет равно нулю.
Под действием радиальных сил поток будет сжиматься в направлении к его оси, вследствие чего давление на стенки трубы будет уменьшаться, т.е. появится как бы отрицательное давление, величину которого можно найти как среднее по радиусу от выражения (16). Для этого проинтегрируем его в пределах от 0 до R и поделим на R:
. (18)
Тот же самый результат получится, если с помощью выражения (13) найти силу, действующую на элементарную площадку поверхности самой трубы и направленную к осевой линии трубы, для чего это выражение с учетом выражения (12) надо проинтегрировать в пределах от 0 до R:
(19)
Поделив эту силу на величину элементарной площадки:
, (20)
получим величину отрицательного давления на внутренней поверхности трубы:
.
За счет этого давления статическое давление около стенок трубы будет уменьшаться. Результирующее статическое давление определится выражением:
(21)
Так как величина отрицательного давления зависит от квадрата скорости, то, вполне естественно, что его величина будет значительно больше в узкой части потока, чем в широкой. Поэтому в трубке Вентури в узкой ее части манометры и будут показывать меньшее давление, чем в широкой части. Зависимость величины отрицательного давления у стенок трубы от скорости движения для воды показана на рисунке 9.
В качестве другого примера можно рассмотреть принцип работы пульверизатора, когда струя газа всасывает в себя жидкость, находящуюся в сосуде (см. рис. 1). Считается, что жидкость всасывается благодаря тому, что давление в струе газа за счет ее скорости становится ниже атмосферного, которое и выдавливает жидкость из сосуда, а струя газа увлекает ее за собой. Однако, такой же эффект вызовет и наличие отрицательного давления, обусловленного наличием неодно-родного поля кинетической энергии в потоке струи газа, вылетающей из сопла пульверизатора. Кроме того, струя будет увлекать за собой частицы окружающего воздуха, что приведет к появлению в нем своего поля кинетической энергии, градиент которого и будет являться причиной всасывания жидкости из сосуда.
Тогда возникает вопрос: если причиной понижения давления в трубке Вентури и всасывания в пульверизаторе может быть не понижение давления в потоке движущейся жидкости или газа, то как же понимать тогда сущность уравнения Бернулли? Ведь скорость жидкости в суженной части потока действительно возрастает, а это, вроде, возможно только при уменьшении противодействия, причем эксперименты показывают, что давление в потоке может быть и ниже атмосферного, так как в манометрической трубке жидкость поднимается над уровнем, соответствующим атмосферному давлению (рис. 10). Но с другой стороны несомненно и то, что сужение потока должно увеличивать сопротивление движению, а значит, и повышать давление внутри потока жидкости. В таком случае увеличение скорости потока может происходить только за счет увеличения движущей силы, т.е. давления с левой стороны выделенного элемента потока. Действительно, подобное заключение можно сделать, если обратиться к уравнению (7):

Мы не должны забывать, что это уравнение относится ко всему выделенному нами объему жидкости, который мы рассматриваем как единое целое. Поэтому разделять его, как это сделано в выражении (9) нельзя. Это очень важно помнить. Из выражения (7) следует, что с увеличением скорости V2 при постоянной скорости V1 будет увеличиваться разность давлений р1 и р2. Это увеличение может происходить как за счет уменьшения р2, так и за счет увеличения р1. При анализе уравнения Бернулли предпочитают говорить об уменьшении давления р2. Но что такое давление р2? Это давление, препятствующее движению жидкости или газа. Чем оно определяется? Возьмем для примера конический насадок для трубопровода (рис. 11). Совершенно ясно, что противодавление р2 не может быть меньше атмосферного давления, иначе жидкость не будет вытекать из сопла. Если же мы захотим увеличить скорость истечения жидкости при данном насадке, то мы, в соответствии с уравнением (7) должны увеличить давление р1. Но это еще не все. Так как скорости V1 и V2 взаимообусловлены, с увеличением скорости V2 будет увеличиваться и скорость V1 , и тогда разность давлений р1 и р2 должна уменьшаться, что соответствует увеличению давления р2 при постоянном давлении р1.
Таким образом, анализ уравнения Бернулли выявляет наличие проблемы в понимании его сущности. Для того, чтобы лучше разобраться с этой проблемой, применим уравнение (7) к исследованию движения жидкости в коническом насадке (см. рис. 11). Из условия непрерывности потока следует, что скорости в сечениях 1 и 2 связаны соотношением:
, (22)
где R1 и R2 - радиусы поперечных сечений в сечениях 1 и 2.
Подставив это значение скорости в выражение (7) и решив его относительно скорости V2, получим:
(23)
Проанализируем это выражение. Возьмем предельные отношения R2/R1. При R2/R1=0 скорость V2 будет равна:
, (24)
тогда как совершенно ясно, что она должна равняться нулю. Правда, здравый смысл подсказывает, что давления р1 и р2 в соответствии с законом Паскаля должны быть равны, а их разность равняться нулю. Однако, из выражения (24) это обстоятельство никак не вытекает.
При R2/R1=1 скорость V2 будет равна бесконечности:
, (25)
что, конечно, не может соответствовать действительности. Однако, и здесь можно найти выход из положения, объявив, что давление р1 и р2 также будут равны, так как величина скорости должна быть постоянной. Тем не менее, мы не сможем найти величину скорости V2, так как она будет определяться отношением нулей.
А как быть при промежуточных значениях отношения R2/R1? Не может же разность давлений р1 и р2 все время быть равной нулю. А как эта разность будет изменяться? Ответа на эти вопросы не существует. Становится ясным только одно: уравнение Бернулли даже для идеальной жидкости не является точным и не может быть использовано для расчета скоростей или давлений, в нем чего-то не хватает. Вот с этим вопросом и следует разобраться, причем с цифровыми расчетами.
Такие расчеты, хотя и приближенные, существуют для истечения жидкости из бака (рис. 12). Уравнение Бернулли в этом случае с учетом потенциальной энергии от веса жидкости имеет вид:
(26)
где g=9,81 м/с2 - ускорение силы тяжести, а координаты z1 и z2 отсчитываются от некоторого произвольного уровня, так как при решении задачи нужна только их разность: H=z1 - z2. Принимается, что V1=0, так как V1<<V2, тогда из выражения (26) получается:
, (27)
где р2 равно атмосферному давлению.
Если р1 будет равно р2, то формула (27) примет еще более простой вид:
, (28)
откуда следует, что скорость истечения жидкости равна скорости свободного падения твердого тела с высоты H.
Это выражение было получено Торичелли за 100 лет до Бернулли и поэтому называется формулой Торичелли.
Однако, и здесь, несмотря на очевидность вывода этого уравнения, возникают вопросы, на которые нет ответа: будет ли, например скорость истечения жидкости зависеть от размеров отверстия или от размеров конического насадка, который можно присоединить к баку (см. рис. 12,б)? Может ли истечение жидкости через небольшое отверстие быть похожим на ее свободное падение? Это, конечно, весьма сомнительно даже для приближенного определения скорости.
Для упрощения анализа этой задачи возьмем вертикально расположенный бак конической формы (рис. 13), в который поступает и из которого вытекает жидкость, причем так, чтобы ее уровень оставался все время одним и тем же. Учитывая соотношение (22) из уравнения Бернулли получим:
(29)
Из этого выражения следует, что при R2/R1=0 скорость V2 будет равна нулю только при условии:
, (30)
откуда следует:
, (31)
что совсем не следует из условия задачи.
При R2/R1=1 V2=¥ , хотя вполне очевидно, что жидкость будет падать при противодействии внешнего давления, которое будет равно атмосферному: р2=р0, и скорость падения должна иметь вполне конкретное значение.
Таким образом, мы установили, что давление р2 в потоке жидкости должно изменяться в зависимости от отношения R2/R1 в пределах:
, (32)
закон изменения которого нам не известен.
Чтобы установить эту зависимость, рассмотрим сперва закрытый конический сосуд, в котором находится под некоторым давлением газ (рис. 14). В этом случае вес газа ввиду его малости можно не учитывать. В соответствии с законом Паскаля давление газа во всех точках сосуда будет одним и тем же. Будем считать, что давление в сосуде создается со стороны первого сечения силой F1, величина которой будет равна:
, (33)
где S1 - площадь поперечного сечения в первом сечении. Во втором сечении газ будет действовать на днище с силой F2, равной:
, (34)
где р2=р1, S2- площадь днища.
Так как площадь S2 меньше площади S1, сила F2 будет меньше силы F1. Вполне очевидно, что разность этих сил:
(35)
будет компенсироваться сопротивлением со стороны боковых стенок сосуда.
Таким образом, сужение сосуда оказывает дополнительное сопротивление силе F1, в результате чего на днище и будет действовать меньшая сила.
Удалим теперь у сосуда днище. Так как газ в сосуде будет находится под давлением большим, чем атмосферное, он начнет вытекать из сосуда с некоторой скоростью. Это движение может происходить только за счет уменьшения давления газа, так как кинетическая энергия движения газа может появиться только за счет потенциальной энергии его давления. Очевидно, что при этом соотношение между давлением в первом и втором сечениях должно измениться, так как скорости движения частиц газа в них будут разными и поэтому количество потенциальной энергии (давления), перешедшей в кинетическую энергию движения, тоже будет разным.
Теперь остается только предположить, как изменятся давления в обоих сечениях, если скорости движения газа в них будут соответственно V1 и V2, а статическое давление р1 будет поддерживаться на постоянном уровне. Поскольку источником движения является только давление газа, за счет уменьшения потенциальной энергии которого и появляется энергия движения, то вполне разумно использовать закон сохранения энергии, предполагая, что потери энергии отсутствуют. Кстати, при выводе своего уравнения Бернулли тоже использовал этот закон, поскольку вся работа сил давления переходила в кинетическую энергию движения.
В соответствии с законом сохранения энергии статические давления в первом и втором сечениях станут меньше первоначальных на величину объемных плотностей кинетических энергий в них:
; (36)
, (37)
так как р2=р1.
Из этих соотношений видно, что мы устанавливаем связь между давлениями и скоростями в обоих сечениях, причем давление во втором сечении будет зависеть от давления в первом сечении. Скорости V1 и V2 тоже взаимозависимы. Так что можно утверждать, что давления и взаимообусловлены.
Если к давлениям и добавить потери потенциальной энергии, перешедшей в кинетическую энергию движения и , то статическое давление в первом и втором сечениях будут равны друг другу и равны р1, т.е.:
, (38)
что является аналогом уравнения Бернулли.
Таким образом, мы получили уравнение Бернулли, исходя из закона сохранения энергии для установившегося потока идеальной жидкости. По сути дела, мы расширили область применения закона Паскаля, перенеся его на движущуюся жидкость.
В связи с изменением давления в первом и втором сечениях изменяются и силы, действующие в них. В соответствии с выражениями (36) и (37) величина этих сил будет равна:
; (39)
(40)
Посмотрим, что произойдет при этом с силой противодействия DF. Определяя ее как разность сил и , найдем:
, (41)
откуда следует, что сила противодействия со стороны стенок возрастает.
Из рассмотренного примера и тех предположений, которые мы сделали, можно сделать следующие выводы.
Во-первых, всякое сужение канала, по которому движется жидкость или газ, оказывает сопротивление этому движению, величина которого зависит от степени суженности, т.е. чем больше сужение, тем больше сопротивление. И наличие этого сопротивления не будет зависеть от того по какому каналу течет жидкость - по широкой трубе или в элементарной струйке. Величина сопротивления будет также зависеть от соотношения скоростей течения в разных сечениях, как это следует из формулы (41). При выводе же уравнения Бернулли это сопротивление не учитывается.
Во-вторых, давление во втором сечении зависит от давления в первом сечении , равного:

Давление во втором сечении будет также зависеть от скорости движения потока жидкости , уменьшаясь на величину . Из этого следует, что давление не является внешним сопротивлением по отношению к выделенному элементу жидкости, это есть внутреннее свойство рассматриваемой части жидкости. И это, по сути дела, есть то давление, которое выделенный элемент жидкости оказывает на последующую, отброшенную часть жидкости, т.е. создает силу, вызывающую движение последующих участков жидкости. И что очень важно, это давление не будет прямо зависеть от внешнего по отношению к выделенному элементу жидкости давлению со стороны отброшенной последующей части жидкости, которое мы обозначим через . Здесь зависимость будет опосредованная: от давления будут зависеть скорости V1 и V2, а уже от скорости V2 будет зависеть давление . Следует заметить, что одной из составляющих давления будет в общем случае давление окружающей среды, в частности - атмосферное давление. Отсюда непосредственно следует тот факт, что давление в потоке жидкости не может быть меньше атмосферного. Таким образом, из всего изложенного следует, что при выводе уравнения Бернулли давление не должно учитываться как причина появления силы сопротивления - сила сопротивления будет создаваться только давлением .
В-третьих, сила сопротивления DF, возникающая из-за сужения канала, определяется только разностью сил в первом и втором сечениях и и противодействует непосредственно силе , т.е. можно считать, что она приложена в первом сечении. Поскольку сила определяется давлением , зависящим от давления р1, то и противодействующая сила DF также зависит от давления р1 и, следовательно, является как бы силой самоторможения потока жидкости при движении его в суженной части. Поэтому при выводе уравнения Бернулли сила DF, во-первых, должна учитываться, а во-вторых, для определения ее работы должна умножаться на перемещение левого конца жидкости Dl1.
В заключение следует сказать, что все сделанные нами выводы стали возможны потому, что мы рассматривали движение выделенного элемента жидкости как единого целого тела, а не двух небольших участков, расположенных на его концах. Вполне очевидно, что такой подход наиболее точно отвечает поставленной задаче.
Теперь снова вернемся к рассмотрению задачи об истечении воды из конического бака (см. рис. 13). В баке с жидкостью давление во втором сечении, по которому будет определяться сила противодействия DF, кроме давления р1 будет также определяться давлением рн , создаваемым весом жидкости:
, (42)
где Н - высота столба жидкости, отсчитываемая от ее верхнего уровня, в связи с чем выражения (36) и (37) примут вид:
; (43)
(44)
В связи с вышеизложенным можно определить действующие на выделенный элемент жидкости силы:
; (45)
; (46)
(47)
Кроме этого мы должны учесть силу сопротивления со стороны отброшенной последующей части жидкости:
, (48)
где в данном случае будет равно атмосферному давлению ро.
При составлении уравнения движения для рассматриваемого объема жидкости мы должны учитывать только силы и , так как выше было показано, что сила не является силой сопротивления. Было также показано, что при нахождении работ сил и DF их надо умножать на перемещение жидкости в первом сечении - Dl1. Остается выяснить вопрос, как следует поступить с силой сопротивления : на какое перемещение Dl ее надо умножить - на Dl1 или Dl2? Для решения этой проблемы объединим силы DF и :
(49)
откуда получим, что второе выражение в скобках представляет собой избыточное по отношению к давлению давление жидкости во втором сечении:
(50)
Отсюда следует, что и работа силы должна определяться умножением ее на перемещение Dl1.
Таким образом, уравнение движения в форме закона изменения кинетической энергии для данной задачи определится выражением:
(51)
После подстановки соответствующих значений сил, определяемых выражениями (45) и (49), выражение (51) преобразуется к виду:
(52)
которое после деления на произведение S1Dl1 и соответствующих преобразований примет вид:
(53)
Выразив скорость V1 через скорость V2 в соответствии с выражением (22) и решив уравнение (53) относительно скорости V2, получим расчетную формулу:
(54)
Проведем анализ этой формулы. При R2/R1=0 скорость V2 будет равна нулю, так как числитель будет равен нулю, а знаменатель единице. При R2/R1=1 скорость V2 будет равна:
, (55)
что совпадает с выражением (27). И это выражение будет в данном случае действительно соответствовать свободному падению жидкости, так как R2=R1. При промежуточных значениях соотношения R2/R1 скорость V2 будет иметь соответствующее этому отношению значение. Результаты расчета этой скорости при значениях === н/м2 и при Н=10,2 м представлены на рисунке 15. Как можно было бы и предполагать с увеличением отношения R2/R1 скорость плавно возрастает от нуля до максимального значения, соответствующего свободному падению. Кроме того, по формуле (44) можно найти давление в струе жидкости, вытекающей из конического бака. Анализ этой формулы показывает, что при V2=0 давление в жидкости будет равно:

и при , что соответствует свободному падению, =. Расчетная кривая для давления =+= представлена на рисунке 15, откуда видно, что давление в вытекающей струе будет больше атмосферного при всех соотношениях радиусов R2/R1, за исключением случая, когда эти давления будут равны.
Для большей убедительности всего изложенного дадим другой вывод уравнения движения, учитывающий инерционные силы, действующие на выделенный элемент идеальной жидкости. В этом случае на основании законов механики силы, действующие на рассматриваемый элемент жидкости, будут находиться в равновесии.
Для определения силы инерции рассмотрим часть конического канала, по которому движется жидкость (рис. 16). Выделим элементарный объем жидкости dm, который из первого положения переместится во второе, изменив при этом скорость своего центра масс со значения до значения . Возникающую при этом элементарную силу инерции можно определить по формуле:
, (56)
где
, (57)
а знак минус показывает направление силы инерции.
Соотношение между скоростями в двух рассматриваемых положениях элементарной массы dm определяется выражением:
, (58)
где
(59)
Используя это соотношение получим:
(60)
Возведя бином в четвертую степень, поделив каждый член на Dls и приняв затем Dls равным нулю, найдем выражение для элементарной силы инерции:
(61)
Примем, что точка Si находится на расстоянии l от первого сечения, тогда соотношение скоростей и радиусов сечений в этих точках будет иметь вид:
; (62)

(63)
Подставив эти значения скорости и радиуса в выражение (61), получим:
(64)
Теперь необходимо просуммировать элементарные силы инерции по всему выделенному объему движущейся жидкости, т.е. по длине l. Подставив в выражение (64) значение массы dm:
(65)
и взяв интеграл от выражения (64) в пределах от 0 до L, найдем силу инерции, действующую со стороны всей движущейся массы жидкости на первое сечение, где приложена движущая сила F1:
(66)
где .
Из выражения (66) следует, что сила инерции действительно приложена к первому сечению, так как разность плотностей энергий во втором и первом сечениях (выражение в скобках) умножается на площадь первого сечения.
Таким образом, на выделенный объем жидкости будут действовать силы:
;
;
;
, (67)
под действием которых этот объем жидкости, рассматриваемый нами как единое тело, в соответствии с законами механики будет находится в равновесии, т.е. будет выполняться следующее условие:
, (68)
которое после подстановки значений всех сил преобразуется к виду:
(69)
После сокращения членов и деления на S1 выражение (69) примет вид:
,
которое полностью совпадает с полученным ранее выражением (53). Следовательно наши рассуждения были справедливыми, и полученные формулы для определения скорости V2 и давления верны.
Таким образом, проблема нахождения скорости потока жидкости нами, казалось бы, решена. Однако, если осмыслить ситуацию с точки зрения законов механики, появляются сомнения в справедливости полученных формул. Действительно, если в качестве примера посмотреть на падающий вертикально поток жидкости, вытекающий из трубы постоянного сечения (рис. 17), то можно сразу заметить, что поток жидкости даже и за пределами трубы движется как единое тело с жидкостью в трубе и, следовательно, во всех своих точках должен иметь одну и ту же скорость. Если этого не будет, то поток разорвется, так как при падении под действием силы тяжести скорость должна непрерывно возрастать. Однако, на практике такого разрыва не наблюдается. Это обстоятельство обусловлено наличием сил сцепления (когезия) между молекулами жидкости, причем силы эти могут быть достаточно большими. Так для чистой без примесей воды прочность ее на разрыв доходит до 3107 Н/м2, что соответствует 300 атм или столбу воды в 3000 м [3, с. 366]. Вполне очевидно, что силы когезии должны существовать и в идеальной жидкости. Поэтому при движении любого элемента жидкости rm на него кроме силы тяжести Fтяж будет действовать и сила сопротивления Fсопр со стороны верхних частей жидкости и движущая сила Fдв со стороны нижних. В результате свободного падения элемента жидкости rm не будет, а сам элемент под действием приложенных к нему сил будет испытывать деформации растяжения, в силу чего в поперечном направлении он будет сжиматься, а весь поток в целом будет сужаться (на рисунке 17 сужение потока показано штрих-пунктирными линиями). За счет этого сужения скорость элемента dm по мере падения должна изменяться, причем ни скорость V1, ни скорость V2 нам не известны, и, как следует из наших рассуждений, не могут быть найдены по приведенным выше формулам.
Чтобы как-то выйти из положения, учтем, хотя бы и приближенно, воздействие внешней по отношению к трубе вытекающей части потока на жидкость, находящуюся в трубе. Это внешнее воздействие будет тянущим, т.е. оно создаст некоторое добавочное давление рд в потоке, способствующее его движению. Величина внешней тянущей силы будет определяться весом столба жидкости, расположенного вне трубы. Так как поток сужается по мере падения, то вес столба жидкости будет равен весу водяного конуса (рис. 18):
, (70)
где mh - масса столба жидкости, R2 и Rh - радиусы столба в начале и в конце рассматриваемой части потока. Высота столба h, очевидно, зависит от заданной величины высоты падения потока, например в какой-то сосуд, или потерей сцепления между частицами жидкости при его истончении, когда начнется распад потока на отдельные капли. Мы будем задаваться величиной h произвольно, не рассматривая критические в отношении распада струи ситуации, так как этот вопрос требует специального исследования.
Чтобы найти вес столба жидкости, необходимо при известном радиусе R2 найти радиус Rh, соответствующий высоте падения h. Для приближенного определения этого радиуса рассмотрим падение некоторого элемента жидкости массой Dm с высоты h под действием только собственного веса, хотя на него будут действовать силы сцепления и с верхней и с нижней стороны, соотношение между которыми будет изменяться по мере падения выделенного элемента.
В соответствии со вторым законом Ньютона будем иметь:
(71)
Решаем это уравнение с начальными условиями:
(72)
В результате получим:
; (73)
(74)
Из выражения (74) найдем время падения t:
(75)
Подставив это значение t в выражение (73), получим зависимость скорости падения Vh от координаты h:
(76)
Используя условие непрерывности потока:
, (77)
получим:
(78)
На рис. 19 показаны формы струй жидкости, полученные в результате расчетов отношения Rh/R2 по формуле (78)для скоростей истечения V2, равных 0,1 м/с и 0,5 м/с, в зависимости от высоты падения h. Из рисунков видно, что при малой скорости истечения сужение струи будет более резким.
Чтобы учесть влияние добавочной движущей силы на скорость движения потока и давление внутри него, ее необходимо учесть в полученных нами уравнениях. Это можно сделать, отнеся ее к первому сечению, где действует движущая сила, определяемая давлением р1 и площадью поперечного сечения S1. Тогда давление, создаваемое этой добавочной силой, будет равно:
(79)
Это выражение удобнее представить в виде:
, (80)
так как тогда отношение Gh/S2 примет простой вид:
, (81)
а выражение (80) преобразуется к виду:
(82)
Тогда расчетные формулы для скоростей и давлений во втором сечении с учетом сцепления будут определяться в соответствии с полученными нами ранее формулами следующим выражением:
; (83)
(84)
При R2/R1=1 формула (83) примет вид:
, (85)
а при ==:
, (86)
На рисунках 20 и 21 показаны результаты расчетов скоростей и давлений без учета и с учетом сцепления внутри жидкости при высоте конического сосуда, из которого вытекает жидкость, в 10,32875 м и 1 м. Первая высота соответствует атмосферному давлению. В обоих случаях высота h принималась равной Н и Н/R1=10, =.
Как видно из кривых скорость истечения потока может значительно увеличиться за счет высоты падения h. Это приблизит величину скорости истечения к результату, определяемому по формуле Торичелли. Давление же внутри струи будет увеличиваться, так как часть потерянного давления (потенциальной энергии) за счет увеличения скорости потока компенсируется добавленным давлением . Однако, при свободном падении жидкости при R2/R1=1 давление в обоих случаях становится равным атмосферному.
Таким образом, полученные нами формулы могут быть использованы для приближенного определения скоростей потока в различных его сечениях, причем эти скорости в значительной степени будут зависеть от величины h (см рис. 22,а и б).

Представляется также интересным рассмотреть задачу о движении потока жидкости вверх на выходе из трубы (рис. 23). В этом случае в сечении 2-2 на поток будет действовать дополнительная сила сопротивления, равная весу внешней части потока жидкости высотой h. Эта сила создаст дополнительное давление во втором сечении, величина которого будет приближенно равна:
(87)
(принимаем, что вытекающий столб жидкости имеет цилиндрическую форму).
Это давление войдет как составляющая в давление , которое входит в расчетные формулы. Тогда давление будет определяться выражением:
(88)
Вполне очевидно, что скорость V2 при этом уменьшится. Однако, для расчета V2 необходимо знать высоту подъема h, которая, в свою очередь, зависит от скорости истечения V2. Поэтому h следует каким-то образом выразить через скорость V2. Будем рассуждать следующим образом. Элемент потока rm в сечении 2 имеет какую-то кинетическую энергию, которая в верхней части потока переходит в потенциальную. Поэтому должно выполняться следующее соотношение:
, (89)
откуда получим:
(90)
Тогда давление примет вид:
(91)

Это значение давления следует подставить в исходное уравнение (53), которое после его решения относительно V2 даст следующее выражение:

(92)
Для трубы постоянного сечения, т.е. при R2/R1=1, это выражение примет вид:
, (93)
а при р1=р0 получим:
(94)
Подставив это значение скорости в выражение (90), найдем:
(95)
Таким образом, высота подъема жидкости будет в два раза меньше перепада ее уровней H. Еще раз отметим, что это будут приближенные значения для скорости V2 и высоты подъема h, так как сечение наружного потока не должно оставаться постоянным: оно должно увеличиваться по мере удаления от выходного отверстия в связи с падением скорости и условием неразрывности ее потока. Кроме того на величину поперечного сечения потока будет оказывать влияние ниспадающая часть потока, которая будет создавать тянущую силу, увеличивающую скорость движения потока.
Расчетные значения скоростей V2, давления и высоты h подъема воды представлены на рисунках 20 и 21 для двух случаев, когда Н=10,32875м и Н=1м. Давление в этом случае определяется обычной формулой:

Так как скорость истечения в этом случае будет меньше за счет наличия добавочного сопротивления столба воды, то и давление будет больше, чем при истечении жидкости вниз, если не учитывать наличия дополнительной силы за счет сцепления частиц жидкости.
Рассмотрим теперь движение не идеальной, а реальной вязкой жидкости. Торможение слоев жидкости о стенки трубы и между собой приводит к уменьшению скорости движения частиц жидкости и, следовательно, к потере некоторой части кинетической энергии потока. Для определения кинетической энергии потока зададимся законом изменения скорости по радиусу произвольного сечения в виде:
, (96)
где Vl и Rl - соответственно скорость жидкости на оси потока и радиус поперечного сечения на расстоянии l от первого сечения. Кинетическую энергию следует определять по средней скорости потока, которую можно найти по объемному расходу жидкости Q:
, (97)
где Sl - площадь поперечного сечения на расстоянии l. Из выражения (97) имеем:
(98)
Объемный расход найдем, используя выражение (96) для элементарных кольцевых сечений, площадь которых определится выражением:
, (99)
где dr - ширина кольца. В соответствии с этим элементарный объемный расход будет равен:
(100)
Проинтегрировав это выражение в пределах от 0 до R, получим полный объемный расход жидкости в сечении l:
(101)
Используя формулу (98), найдем среднюю скорость потока в сечении l:
(102)
Кинетическая энергия потока на некотором участке Dl в этом случае будет равна:
, (103)
где Dm -соответствующая длине Dl масса участка жидкости.
Уравнение движения выделенного объема жидкости в виде суммы сил с учетом силы трения Fтр определится выражением:
(104)
В этом выражении учитываются средние по сечению скорости потока в сечениях 1 и 2. Сила трения должна определяться по существующим экспериментальным данным.
Сделав необходимые преобразования, приведем выражение (104) к виду:
(105)
откуда найдем скорость V2:
, (106)
где
(107)
потеря давления на длине L=H (на эту величину уменьшается давление р1 в сечении 2).
Анализ этого выражения показывает, что при R2/R1=0 скорость V2 будет равна нулю, а при R2/R1=1 выражение (107) примет вид:
(108)
Среднее значение скорости потока во втором сечении будет в два раза меньше.
Величина давления во втором сечении уменьшится за счет потери энергии на преодоление сил трения и будет определяться выражением:
(109)
При движении жидкости вниз необходимо учесть межмолекулярное сцепление. Тогда скорость V2 определится выражением:
(110)
При вытекании жидкости вертикально вверх давление , как было показано выше, можно представить выражением:
(111)
Тогда выражение для скорости V2 примет вид:
(112)
Давление внутри жидкости при ее движении вниз и вверх будет определяться выражением (109), только скорости V2 в них будут, естественно, разными. Значит и давления будут различными.
Давление внутри жидкости с учетом ее сжатия будет в соответствии с формулой (18) больше на величину среднего отрицательного давления:
,
пристеночное же давление - меньше на эту величину, т.е.:
; 113)
(114)
Для расчета скоростей потока жидкости и давления внутри него с учетом силы трения необходимо определить силу трения. Для этого используем формулу Пуазейля, по которой определяется расход жидкости при ламинарном режиме течения:
, (115)
где Q - расход жидкости в м3/с, р1-р2 - перепад давления в потоке жидкости на участке цилиндрической трубы длиной L в Н/м2, m - динамическая вязкость жидкости в кг/мс, d - диаметр трубы в м.
С помощью этого выражения можно найти среднюю скорость по сечению трубы:
, (116)
где, как уже отмечалось выше, средняя скорость равна половине максимальной осевой скорости V.
Используя выражение (116), найдем потерю давления за счет трения на длине L:
(117)
Поскольку мы рассматриваем сосуд (трубу) переменного сечения, запишем выражение (117) в дифференциальной форме:
, (118)
где Vl - осевая скорость в сечении, находящемся от первого сечения на расстоянии l, Rl - радиус этого сечения, dl - элементарная длина участка, соответствующего элементарной потери давления dp (рис. 24).
Для дальнейших преобразований используем условие непрерывности потока:
,
откуда находим:
, (119)
где
(120)
Используя эти выражения, получим:
(121)
Проинтегрировав полученное выражение по l в пределах от 0 до L, найдем потерю давления по всей длине L:
(122)
Так как выражение в круглых скобках равно:
, (123)
а tga определяется выражением:
, 124)
формула (122) преобразуется к виду:
(125)
Выразим скорость V1 через скорость V2, используя условие неразрывности потока:
(126)
и приведем выражение (125) к виду:
(127)
По полученным формулам были произведены три варианта расчетов для следующих размеров конической трубы:
1) H=L=10,32875 м (что соответствует атмосферному давлению);
2) H=L=1,0 м ;
3) H=L=0,1 м
Во всех случаях соотношение H/R1 принималось равным 10, h=H, в качестве жидкости бралась вода, для которой коэффициент динамической вязкости m равен 0,001 кг/мс. Расчеты показали, что для выбранных размеров трубы средняя скорость потока воды при наличии вязкости практически не отличалась от скорости идеальной жидкости, представленной графиком на рисунке 15. Это обусловлено малым значением коэффициента m. Давление в струе без учета сцепления между молекулами и сжатия ее, благодаря наличию градиента поля кинетической энергии, тоже будет таким же, как и для идеальной жидкости. Если же эти факторы учитывать, то давление внутри струи может значительно увеличиться, а пристеночное давление - уменьшиться, становясь меньше атмосферного и даже отрицательным. Результаты расчета для трех вариантов представлены на рисунках 25-27. На рисунках показаны кривые, характеризующие изменение давлений и в
функции отношения R2/R1, при движении потока вниз без учета сцепле
ния между молекулами жидкости (кривые 1), при движении потока вниз с учетом молекулярного сцепления (кривые 2) и при движении потока вверх (кривые 3). Из кривых видно, что изменения давления имеют наибольшее значение для трубы больших размеров и, следовательно, могут легко наблюдаться.
Таким образом, мы рассмотрели, как изменяются скорость потока и давление внутри него при течении жидкости по трубе переменного сечения. Расчеты показывают, что давление в вязкой жидкости на выходе из трубы будет больше атмосферного. Очевидно, это давление какое-то время будет больше атмосферного и при движении жидкости вне трубы. Рассмотрим подробнее этот вопрос.
Если давление в жидкости при выходе из отверстия будет больше атмосферного, то струя была бы должна сразу расширяться на выходе, но этого, однако, не происходит, струя даже сжимается. Причина этого нами уже обсуждалась. Во-первых, это объясняется сохранением градиента поля кинетической энергии, благодаря разности скоростей в центре и по краям потока, которые еще не успели выравниться. Определяемая градиентом сила будет продолжать сжимать поток. Во-вторых, поток жидкости будет сжиматься силой, возникающей за счет движения воздуха, увлекаемого струей жидкости. В воздушной струе при этом также появится поле кинетической энергии, градиент которого и определит действующую силу.
Определим давление, с которым воздух сжимает струю жидкости. На рисунке 28 показана картина поля скоростей в воздухе, которую можно характеризовать выражением:
, (128)
где r - расстояние от центра струи.
Тогда кинетическая энергия некоторой элементарной массы dm будет равна:
, (129)
где
(130)
Здесь: rв - плотность воздуха.
Производная от этого выражения определит элементарную силу dFв:
,(131)
направленную к центру потока.
Отношение этой силы к элементарной поверхности dS=rdjdh, соответствующей элементарной массе, определит дифференциальное давление dpв:
(132)
(знак минус опускаем).
Полное же давление, действующее на элементарную массу со стороны всех внешних по отношению к ней частиц воздуха, определится интегралом от выражения (132), взятом по r в пределах от r до :
(133)
На поверхности струи (r=Rh) давление воздуха будет равно:
(134)
В-третьих, струя будет сжиматься благодаря наличию растягивающих сил, обусловленных сцеплением между молекулами жидкости, а также, как уже отмечалось выше, увеличением скорости падения под действием силы тяжести.
В-четвертых, струя будет сжиматься, благодаря наличию силы поверхностного натяжения.
Таким образом, на струю жидкости, вытекающую из трубы, будет действовать несколько сил, сочетание которых определит и ее форму, и давление в ней, и влияние которых трудно учесть математически.
Попытаемся, однако, сделать это хотя бы приближенно. Так как струя имеет вполне определенную коническую форму, можно предположить, что движение жидкости в струе будет аналогично движению в сужающемся канале (трубе), причем нам будут известны скорости в начале и в конце движения V2 и Vh, а также давление на выходе струи из трубы. Скорость Vh обусловленная движением под действием силы тяжести, как нами было показано выше, определяется приближенным выражением:

Для решения задачи предположим, что увеличение скорости происходит только за счет использования потенциальной энергии струи, т.е. за счет уменьшения ее внутреннего давления. Такое допущение в какой-то степени возможно, если вспомнить, что движению жидкости под действием силы тяжести препятствуют силы, обусловленные сцеплением между ее частицами (молекулами), т.е. силы когезии.
Поскольку движение потока не формируется каким-либо каналом и вес струи не принимает участия в создании дополнительного давления используем уравнение Бернулли в его чистом виде:
, (135)
откуда можно найти давление ph:
(136)
Используя выражение для скорости Vh, преобразуем уравнение (136) к виду:
(137)
Полученное выражение можно использовать для определения высоты падения потока h, при которой давление ph будет равно атмосферному:
(138)
Для трех рассмотренных нами примеров, когда H»10 м, H=1м и H=0,1 м значения будут соответственно равны:
1) м
2) м
3) м
Во всех трех случаях высота падения струи, на которой внутреннее давление в ней будет равно атмосферному, получилось, примерно, в 4 раза больше высоты h=H. Конечно, это будут, как уже отмечалось, приближенные значения, которые необходимо проверить экспериментально.
Все рассмотренные нами примеры убедительно показывают, что давление внутри струи как идеальной, так и реальной жидкости не может быть ниже атмосферного давления. Однако, пристенное давление может быть значительно меньше, что и проявляется при использовании манометрических трубок. Используя выражение (114), можно по давлению , найденному с помощью манометрической трубки, определить давление в потоке жидкости:
(139)
Второе слагаемое в этом выражении, по сути дела, является методической ошибкой измерения, так как это не ошибка прибора и не какая-нибудь случайная погрешность, а ошибка, связанная с самим способом измерения.
Формула (114) может быть использована для определения скорости движения жидкости в трубопроводе при известном пристенном давлении, найденном экспериментально. Для этого ее надо представить в развернутом виде с учетом выражений (109) и (107):
(140)
Рассмотрим два случая измерения давления, представленные на рисунках 7 и 10. Давления, показываемые манометрическими трубками в сечениях 1 и 2 в первом случае (рис. 7), будут отличаться на величину h из-за разности скоростей жидкости в этих сечениях. Сами же пристенные давления для горизонтальной трубы в соответствии с формулой (140) будут равны:
; (141)
, (142)
поэтому их разность определится выражением:
(143)
Используя соотношение (22), из выражения (143) найдем скорость V1:
(144)
Для второго случая (рис. 10) устанавливаем связь между пристенным и атмосферным давлением в узком сечении в виде соотношения:
, (145)
где rм - плотность жидкости в манометрической трубке, h - высота подъема жидкости в трубке над уровнем жидкости в сосуде, находящимся под атмосферным давлением. Из выражения (145) находим скорость потока жидкости V:
(146)
Найдем теперь погрешность при измерении давления внутри потока жидкости с помощью зонда (рис. 29). Рассмотрим случай, когда трубка зонда расположена по оси потока. Наличие трубки приведет к изменению характера движения потока, к изменению картины поля скоростей в нем (рис. 30), так как трубка, как и стенки трубы, будет тормозить поток жидкости. Поле скоростей можно разделить на две части по отношению к максимальному значению скорости потока Vm: первую часть - от трубки зонда радиуса r3 до радиуса rm, соответствующего максимальной скорости, и вторую часть - от rm до стенки трубы, т.е. до радиуса R.
Примем, что поле скоростей на этих участках будет определяться выражениями:
; (147)
(148)
Из этих выражений следует, что при r=rm скорости и будут иметь одно и то же значение Vm, а при r=r3 и r=R они будут равны нулю.
Наличие соответствующих полей кинетической энергии приводит к появлению радиальных сил инерции, направленных от трубы зонда и от стенки трубки к середине потока. Эти силы будут сжимать поток и создадут отрицательное давление на стенке трубы и на поверхности трубки зонда. Это давление будет уменьшать статическое давление, измеряемое зондом. Величина отрицательного давления на обоих участках будет определяться, как было показано выше, средней плотностью кинетических энергий:
(149)
Это давление будет увеличиваться с увеличением диаметра трубки зонда, так как будет увеличиваться скорость потока, величину которой можно найти из условия неразрывности потока:
, (150)
где V - скорость невозмущенного зондом потока жидкости. Из выражения (150) находим:
(151)
Таким образом, получается, что существующие измерительные приборы не могут точно измерить давление внутри потока жидкости. Это обстоятельство, как видим, обусловлено самой методикой измерения давления.
Проведенный нами анализ проблемы по определению скорости потока жидкости и давления внутри него показывает, что эта задача не имеет достаточно простого решения. Это обусловлено, в первую очередь, тем, что жидкость, в отличие от твердого тела, легко меняет свою форму из-за значительно меньшего сцепления между ее частицами. И тем не менее сил сцепления хватает на то, чтобы влиять на движение всего объема жидкости, находящейся как в самой гидравлической системе, так и вне ее. Так, например, при расширяющемся коническом насадке расход жидкости увеличивается, т.е. увеличивается скорость ее истечения из сосуда. Это явление может быть объяснено только увеличением массы падающей жидкости и, следовательно, увеличением добавочного давления. Поэтому жидкость в гидравлической системе и вне ее следует рассматривать как единое тело, подвергающееся разным деформациям на различных участках системы.
В свете всего вышеизложенного возникает вопрос о физической сущности уравнения, полученного самим Даниилом Бернулли.
Для выяснения его сущности обратимся к этому уравнению в форме выражения (8). Здесь р1 и р2 статические, а и - динамические давления. Из этого уравнения следует, что сумма статического и динамического давлений, т.е. полное давление, является величиной постоянной для элементарной трубки тока на всей ее длине. Однако, это утверждение будет справедливо только при одном условии - под давлением р2, как это было показано нами выше, должно пониматься не давление противодействия со стороны отброшенной части жидкости, которое нами обозначено как , а давление в самом потоке рассматриваемого участка жидкости. В законе Бернулли это условие не оговаривается и даже не подразумевается.
Суть закона Бернулли можно прокомментировать и другим образом. Статическое давление в соответствии с законом сохранения энергии при движении жидкости должно уменьшаться на величину динамического давления, хотя на самом деле, никакого динамического давления в потоке жидкости нет, так как выражение проявляет себя как настоящее давление только при торможении всего потока или какой-либо его части. Фактически, выражение является объемной плотностью кинетической энергии, т.е. количеством кинетической энергии в единице объема движущейся жидкости. По сути дела, это выражение представляет собой потерю статического давления за счет его перехода в энергию движения. Поэтому, если мы к статическому давлению р прибавим потерю давления , то тем самым мы возвращаемся к исходному статическому давлению, которое имело бы место при отсутствии движения жидкости. Значит, давление р1 в уравнении Бернулли на самом деле есть давление , меньшее, чем исходное давление р1. То же самое можно сказать и о давлениях во втором сечении. Однако, это обстоятельство при выводе уравнения тоже не оговаривается. Таким образом, если в первом и втором сечениях потока к давлениям и мы добавим соответствующие потери давлений за счет движения жидкости, то на основании уравнения (8) мы можем сказать, что исходное статическое давление в обоих сечениях при отсутствии движения жидкости было одним и тем же. По сути дела, это есть закон постоянства начального гидростатического давления, т.е. это есть аналог закона Паскаля для движущейся жидкости.
Есть еще один способ объяснения физической сущности закона Бернулли. Нами уже отмечалось, что выражение представляет собой объемную плотность кинетической энергии движущейся жидкости. Очевидно, что то же самое можно сказать и о статическом давлении р, которое тоже можно считать плотностью энергии, но не кинетической, а потенциальной. Что касается весового давления rgH, то его тоже можно считать плотностью потенциальной энергии от веса жидкости. Поэтому закон Бернулли можно трактовать и как закон сохранения объемной плотности энергии, т.е. закон сохранения энергии в единице объема жидкости.
Таким образом, анализ закона Бернулли показывает, что он имеет вполне строгий физический смысл, связанный с законом сохранения энергии. Однако, уравнение Бернулли не может быть использовано для непосредственного нахождения скоростей течения жидкости по известным давлениям, или наоборот, даже для идеальной жидкости, так как в нем не учитывается внешнее сопротивление и сопротивление на участке сужения потока. При выводе этого уравнения неправильно находилась работа сил, так как все они должны были приводиться к первому сечению и умножаться поэтому на перемещение Dl1. Использование уравнения Бернулли для определения скоростей или давлений приводит к существенным ошибкам. Использование формулы Торичелли для определения скорости истечения жидкости из произвольного отверстия также неправомерно, так как ни о каком свободном падении в этом случае говорить не приходится.
Следовательно, за все время своего существования закон Бернулли понимался неверно, это, по сути дела, один их мифов механики, однако, с его помощью оказалось возможным объяснить почти все гидродинамические явления (эффекты) в движущейся жидкости. И, как это ни удивительно, такая возможность возникла благодаря тем ошибкам, которые были допущены при выводе этого уравнения. Так уж получилось, что при выводе уравнения вся работа от сил давления затрачивалась на изменение только кинетической энергии одинаковых объемов жидкости, массой rm, в результате чего и получился физически содержательный результат, заключающийся, по сути дела, в переходе потенциальной энергии в кинетическую и, как следствие, постоянстве суммы этих энергий во всех сечениях потока жидкости.
Неправильному пониманию закона Бернулли способствовало также и отсутствие понятия поля кинетической энергии в движущейся жидкости и сопутствующего ему градиента.
В заключение необходимо напомнить, что полученные нами формулы могут быть использованы только для приближенного расчета скоростей и давлений внутри потока жидкости, так как внешнее давление невозможно найти точно в связи с действием на частицы жидкости сил когезии.